لماذا خلايا العسل التي يصنعها النحل سداسية الشكل ؟

عالم النحل عالم مدهش ومثير، ومليء بالأسرار، والمعجزات الباهرة التي تدل على قدرة الخالق العظيم الذي أبدع هذا الكائن العجيب، وجعل من أمته مثالاً يحتذى في التعاون و النظام، والبراعة والإتقان،
فتعالوا إخواني أخواتي نتعرف على بعض جوانب البراعة و الإتقان من خلال محاولة فهم سبب صنع النحل لخلايا العسل على شكل سداسي منتظم حتى نكتشف كيف لهذا الكائن البسيط أن يدرك بعض المعارف التي يستعصي علينا فهمها.
حتى نجيب عن هذا السؤال، سنضع أنفسنا مكان النحل و لنتخيل أننا نريد تصنيع مجموعة من العلب المتجاورة لتخزين منتوج معين كالعسل.
فهل نصنع هذه العلب على شكل دوائر أم مربعات أم مثلثات أم نختار مضلعا منتظما آخر ؟
استعمالنا للدوائر (أو بالأصح أسطوانات) سيترك فراغات غير مستغلة داخل المخزن.
إذن لاستغلال تام للمخزن يجب استعمال شكل لا يترك فراغات عند تراصه بشكل متتابع.
لذلك يبدو من البديهي استعمال مضلعات منتظمة(رغم إمكانية وجود أشكال أخرى) لكونها سهلة البناء.
لكن السؤال الذي يفرض نفسه هل جميع المضلعات تحقق هذا الشرط ؟
لأجل الإجابة عن هذا السؤال سنأخذ مثالين ثم بعد ذلك نقوم ببرهان.
إذا أخذنا المربع فالأمر واضح و محقق:
أما إذا أخذنا خماسيا منتظما فالأمر سيختلف تماما.
إذ بعد رص 3 خماسيات سيبقى فراغ لا يناسب خماسيا آخر، لماذا؟
نعلم أن مجموع قياسات زوايا خماسي هي : $180\times (5-2)=180\times 3=540^\circ$
هذا يعني أن كل زاوية من زوايا الخماسي سيكون قياسها هو: $\frac{540}{4}=108^\circ$
و هكذا فوضع 3 خماسيات بتتابع سيشغل حيزا من المستوى ممثل بزاوية قياسها
لكن الزاوية المليئة قياسها $360^\circ$ ، مما يعني تبقي حيز ممثل بزاوية قياسها $360-324=36^\circ$
لنبحث إذن عن المضلعات التي يمكن رصها دون ترك حيز فارغ:
نعتبر مضلعا منتظما عدد أضلاعه n حيث $n\geqslant 3$ (مثلث على الأقل)
مجموع قياسات زوايا هذا المضلع هي : $180\times (n-2)=180\,n -360$
و هكذا قياس كل زاوية من زواياه هو: $\alpha=\frac{180\,n -360}{n}$
و ليكن p عدد المضلعات التي يمكن رصها بتتابع دون ترك حيز فارغ ، إذن $\underset{p\,fois}{\underbrace{\alpha+\alpha+...+\alpha}}=360^\circ$ أي: $p\,\alpha=360$
أي: $p\,\frac{180\,n-360}{n}=360$ أي: $p(180\,n-360)=360\,n$
و هكذا نحصل على معادلة بمجهولين طبيعيين n و p، لنحل إذن هذه المعادلة.
لدينا : $p(180\,n-360)=360\,n$ منه: $180\,p\,n-360\,p=360\,n$ منه: $180(p\,n-2\,p)=180\times 2\,n$
نختزل فنجد: $p\,n-2\,p=2\,n$ منه: $p\,n-2\,p-2\,n=0$ منه: $p\,n-2\,p-2\,n+4=4$
نعمل جزئيا: $p(n-2)-2(n-2)=4$ ثم كليا: $(n-2)(p-2)=4$
هذا يحيلنا إلى تحديد قواسم العدد 4 و التي هي 1 و 2 و 4 ، مما يعني أن: $\left\{\begin{matrix} n-2=1 \\ p-2=4 \end{matrix}\right.$ أو $\left\{\begin{matrix} n-2=2 \\ p-2=2 \end{matrix}\right.$ أو $\left\{\begin{matrix} n-2=4 \\ p-2=1 \end{matrix}\right.$
بالتالي: $\left\{\begin{matrix} n=3 \\ p=6 \end{matrix}\right.$ أو $\left\{\begin{matrix} n=4 \\ p=4 \end{matrix}\right.$ أو $\left\{\begin{matrix} n=6 \\ p=3 \end{matrix}\right.$
و هذا يعني أن المضلعات التي تحقق الشرط المطلوب هي : المثلث المتساوي الأضلاع،و في هذه الحالة سيتم رص 6 مثلثات بتتابع المربع ،و في هذه الحالة سيتم رص 4 مربعات بتتابع(كما هو مبين سابقا) السداسي المنتظم ،و في هذه الحالة سيتم رص 3 سداسيات منتظمة بتتابع
حسن ، لكن لا زال السؤال مطروحا ، لماذا نختار السداسي و ليس المربع أو المثلث المتساوي الأضلاع رغم أن هذين الأخير أكثر بساطة في الإنشاء ؟
الإجابة عن هذا السؤال مرتبطة باختيار الشكل الذي سيكون أقل كلفة في الإنشاء ، بعنى آخر أن كل شكل من هذه الأشكال سيجعل استغلال المخزن مثاليا، لكن ما هي كلفة بناء كل شكل ؟
بمعنى آخر و لو افترضنا مثلا أننا سنصنع هذه الأشكال مستعملين خشبا فما هو الشكل الذي سيمكننا من استعمال أقل قدر ممكن من الخشب ؟
بطريقة رياضية، إذا افترضنا أن للأشكال السابقة نفس المساحة فما هو أصغرها محيطا ؟
هذا السؤال يحيلنا إلى تذكر و استحضار بعض القواعد الرياضية، كم يساوي محيط و مساحة كل من هذه الأشكال ؟
بالنسبة للمربع إذا رمزنا لطول ضلعه بـ $a$ و لمحيطه بـ $p_4$ و مساحته بـ $S_4$ :
فإن محيطه هو : ${\underline{p_4=4\,a}}$ و مساحته هي : ${\underline{S_4=a^2}}$
أما المثلث المتساوي الأضلاع فإذا رمزنا لطول ضلعه بـ $b$ و لمحيطه بـ $p_3$ و مساحته بـ $S_3$ :
فإن محيطه هو: ${\underline{p_3=3\,b}}$ أما لحساب مساحته فسنستعمل طريقتين حسب المستوى الدراسي إعدادي أو تأهيلي:
طريقة: ( 3 إعدادي )
ليكن $[AH]$ ارتفاعا للمثلث $ABC$ ، إذن $S_3=\frac{AH\times BC}{2}=\frac{AH\times b}{2}$
لنحسب $AH$ ، باستعمال مبرهنة فيثاغورس المباشرة
في المثلث $ABH$ القائم الزاوية في H $AB^2=AH^2+HB^2$ ، نجد: $AB^2=AH^2+HB^2$ منه: $b^2=AH^2+\left ( \frac{b}{2} \right )^2$
منه : $AH^2=b^2-\left ( \frac{b}{2} \right )^2$ منه: $AH^2=b^2-\frac{b^2}{4}=\frac{\,b^2}{4}$ منه: $AH=\sqrt{\frac{3\,b^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,b$
و هكذا يصبح : ${\underline{S_3=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b\times b}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,b^2}$
طريقة: (ثانوي تأهيلي )
نستعمل قاعدة المساحة : ${\underline{S_3=\frac{1}{2}\times AB \times AC \times \sin(B\hat{A}C)=\frac{1}{2}\times b\times b \times \sin(60^\circ)=\frac{1}{2}\times b^2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,b^2}}$
أما السداسي المنتظم فإذا رمزنا لطول ضلعه بـ $c$ و لمحيطه بـ $p_6$ و مساحته بـ $S_6$ :
فإن محيطه هو: ${\underline{p_6=6\,c}}$ و مساحته هي: ${\underline{S_6=6\times \frac{\sqrt{3}}{4} \,c^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,c^2}$ (لأنه يتكون من 3 مثلثات متساوية الأضلاع)
يبقى الآن أن نقارن محيطات هذه الأشكال بافتراض أن لها نفس المساحة.
أي لنقارن $p_3$ و $p_4$ و $p_6$ حيث : $S_3=S_4=S_6$
لتبسيط المقارنة سنكتب مساحة كل شكل بدلالة محيطه:
لدينا: ${\underline{p_3=3\,b}}$ و $\underline{S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}\,b^2}$ إذن: ${\underline{S_3 = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\,\left( {\frac{{p_3 }}{3}} \right)^2 = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times \frac{{p_3^2 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{{36}}\,p_3^2 }}$
لدينا: ${\underline{S_4=a^2}}$ و ${\underline{p_4=4\,a}}$ إذن: ${\underline{S_4=\left({\frac{{p_4}}{4}}\right)^2=\frac{{p_4^2}}{{16}}}}$
لدينا: ${\underline{S_6=\frac{{3\sqrt 3}}{2}c^2}}$ و ${\underline{c_6=6\,c}}$ إذن: ${\underline{S_6=\frac{{3\sqrt 3}}{2}\left( {\frac{{p_6}}{6}}\right)^2=\frac{{3\sqrt 3}}{2}\times \frac{{p_6^2}}{{36}}=\frac{{\sqrt 3}}{{24}}p_6^2}}$
بما أن $S_3=S_4=S_6$ فإن: ${\underline{\frac{{\sqrt 3\, p_3^2}}{{36}} = \frac{{p_4^2}}{{16}}=\frac{{\sqrt 3\,p_6^2}}{{24}}}}$ و باستعمال قواعد التناسب نجد: ${\underline{\frac{{p_3^2}}{{p_4^2}}=\frac{{36}}{{16\sqrt 3}}=\frac{9}{{4\sqrt 3}}}}$ و ${\underline{\frac{{p_4^2}}{{p_6^2}}=\frac{{16\sqrt 3}}{{24}}=\frac{{2\sqrt 3}}{3}}}$
بما أن: $9^2=81$ و $\left({4\sqrt 3}\right)^2=16\times 3=48$
فإن : $9>4\sqrt 3$ منه $\frac{9}{{4\sqrt 3}}>1$ منه : $\frac{{p_3^2}}{{p_4^2}}>1$ منه $p_3^2>p_4^2$ منه $p_3>p_4$
أيضا بما أن: $\left({2\sqrt 3}\right)^2=4\times 3=12$ و $3^2=9$
فإن : $2\sqrt 3>3$ $\frac{{2\sqrt 3}}{3}>1$ منه $\frac{{p_4^2}}{{p_6^2}}>1$ منه : $p_4^2>p_6^2$ منه $p_4>p_6$
بالتالي: $\LARGE {\underline{p_3>p_4>p_6}}$
خلاصة: الشكل الذي يتطلب صنعه أقل كلفة ممكنة و استغلال كل المساحة المتوفرة في المخزن هو السداسي المنتظم.
هذه النتيجة إن دلت على شيء فهي تدل على الدقة البالغة و الإتقان حتى في اختيار شكل الخلايا ، فسبحان الله الذي علم النحل من علمه الذي لا ينفذ .

سمير لخريسي بتصرف عن إحدى وثائق اللقاءات التربوية و عن شبكة IREM
Instituts de recherche sur l’enseignement des mathématiques

ملاحظة لاستعمال الرموز الرياضية في تعليقاتكم